初中三年级上册数学《一元二次方程》教学设计

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　　一元二次方程教学设计

 

　　一、教材的地位和作用：

 

　　有关方程、方程组知识的学习从七年级开始的，它是解决实际问题的重要工具。一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课的内容是一元二次方程的概念，教学中通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察，类比一元一次方程归纳出一元二次方程的概念。  二、学情分析：

 

　　初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。促进学生个性发展。从认知基础上看，学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识，为本章的学习奠定了基础。学生在利用方程解决实际问题的过程中，会发现仅用这些知识是不能够解决的，因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。 三、教学目标： 知识与技能目标：

 

　　1.使学生了解一元二次方程的意义； 2.会判断一个方程是否是一元二次方程；

 

　　3.熟练掌握一元二次方程的一般形式，会准确确定一元二次方程各项的系数. 过程与方法目标：

 

　　1.通过教学，培养学生观察、比较、归纳及逻辑思维的能力，培养学生发现问题，提出问题，解决问题的能力；

 

　　2.经历抽象一元二次方程的过程，使学生感受到事物由具体到抽象，由特殊到一般的发展规律，进一步体会出方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型. 情感态度与价值观目标：

 

　　1.培养学生认识数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣；

 

　　2.培养学生主动探索、敢于实践、勇于发现、合作交流的精神. 四、教学重点及难点：

 

　　本节课的主要内容是对一元二次方程的认识，这是今后学习解一元二次方程的基础，要运用一元二次方程解决生活中的实际问题，首先必须了解一元二次方程的概念，而概念的教学又要从大量的实例出发。所以，本节课的重点是：一元二次方程的概念和一般形式。 根据八年级学生的生理特点，本节课的教学难点为：一元二次方程的一般形式及正确识别一般形式中的“项”及“系数”，尤其是二次项系数a的取值范围。 五、教法分析：

 

　　学生已经学习了一元一次方程及相关概念，针对八年级（下）学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认知水平，采用探索学习的方式，以类比发现法为主，以讨论法、练习法为辅的教学方法；教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式。但是由于学生将实践问题转化为数学方程的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，指导学生通过观察

 

　　直观形象的演示，从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。 六、教学过程的设计：

 

　　（－）创设情境，引入新知： 问题情境一：认识“老朋友”

 

　　1、你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？ 2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？

 

　　3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗  【设计意图】：通过复习一元一次方程所学过的知识，为今天所学知识做铺垫，便于与一元一次方程进行类比，从而得到一元二次方程的概念。另外，学生根据实际问题中的数量关系来列方程可能会有困难，复习了列一元一次方程解决实际问题的步骤后，学生再来解决后面的实际问题就容易多了。 问题情境二：

 

　　问题1：学校要用80米长的篱笆在墙边围一个矩形的草坪，当矩形面积是750平方米时，它的长和宽应是多少米？

 

　　解：设矩形的宽是x米，长是（80-2x）米 根据题意，得：x（80-2x）=750 整理后，得：  x -40x+375=0 【设计意图】：本题是课本中做一做的原题，通过多媒体演示，使学生发现题中矩形周长的特点——两条宽一条长。从而列出方程。

 

　　问题2：从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？

 

　　解：设竹竿为x尺， 门框宽为（x-4）尺，高为（x-2）尺 根据题意，得：（x-2）2+（x-4）2=x2 整理后，得：  x -12x+20=0 【设计意图】：本题是一个有趣的问题，特别的情境可以吸引学生思考，激发学习兴趣。而且又与刚刚学过的矩形知识和勾股定理相结合，从而列出方程。

 

　　问题3：一个正方形的面积的2倍等于50米，这个正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为x米 根据题意，得：2x2=50 整理后，得：  2x -50=0

 

　　问题4：一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数。 解：设一个数是x，则另一个数是（x-3） 根据题意，得：x （x-3）=0 整理后，得：  x -3x=0

 

　　小结：只需要求出方程中未知数的值就可以解决这些问题. 【设计意图】：因为数学来源与生活，所以以学生的实际生活背景为素材创设情景，易于被学生接受、感知。通过微机演示实例，并应用微机对其进行分析，充分显示微机演示中的生动性、灵活性，把图形的静变成动，增强直观性；同时帮助学生从实际问题中提炼出数学问题，初步培养学生的抽象能力。情景分析中学生自然会想到用方程来解决问题，但所列的方程不是以前学过的，从而激发学生的求知欲望，顺利地进入新课。

 

　　通过上述情景分析，让学生小组合作，列出方程。前两个实例的基础上，又补充2个实例，而且，补充的例题所列出的方程正好是一个一次项为0，一个常数项为0 的特殊一元二次方程，这为后面概括得出一元二次方程的一般形式作准备。 （二）师生互动，探求新知：

 

　　想一想：在解决实际问题的过程中，得出了这样几个方程： x -40x+375=0 x -12x+20=0 2x -50=0 x -3x=0

 

　　（1）它们是否是一元一次方程吗？

 

　　（2）这些方程和一元一次方程有什么共同点和不同点？ 共同点：①它们都是整式方程；②都含有一个未知数.

 

　　不同点：方程中未知数的最高次数是2；而一元一次方程的未知数最高次数是1。 问题： 1）你能给这种不同于一元一次方程的新方程起个名字吗？ 2）你能类比一元一次方程的概念给出一元二次方程的概念吗？ 1.一元二次方程的概念：

 

　　只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【设计意图】：在学生列出方程后，对所列方程进行整理，并引导学生分析所列方程的特征，同时与一元一次方程相比较，找出两者的区别与联系，并类比一元一次方程的概念来得出一元二次方程的概念。由于一元二次方程的概念是本节的重点，所以在形成概念的过程中主要引导学生积极主动进行自我尝试、自我分析、自我修正、自我反思，让学生真正理解一元二次方程概念的内涵：（1）是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2。 观察、思考：

 

　　上述一元二次方程还有哪些相同点和不同点？你能类比一元一次方程的一般形式得出一元二次方程的一般形式吗？ 2.一元二次方程的一般形式：

 

　　我们把一元二次方程按未知数的降幂排列有：ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项.　 想一想：为什么要限制a≠0 ？ b、c可以为零吗？

 

　　强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。 【设计意图】：因为任何一个一元一次方程都可以化为 “ax+b=c（a≠0）”的形式，由此类比得出一元二次方程的一般形式为“ax2+bx+c=0（a≠0）”；并由一元一次方程项及系数的概念联想得出一元二次方程的项及系数的概念。 （三）运用新知，深化概念：

 

　　1. 例1: 判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，填入下表中，并回答相应的问题：

 

　　想一想：如果一个方程是一元二次方程，它一定要满足几个条件？是哪几个？ （1）判断方程是否是一元二次方程前，先整理成一般形式再进行判断； （2）一元二次方程必须具备三个条件： ①    方程是一个整式方程； ②    只含有一个未知数；

 

　　③    含有未知数的项的最高次数是2．   【设计意图】：设置本道例题，是为了应用一元二次方程的概念，来判断一个方程是否是一元二次方程，并通过把一元二次方程化为一般形式，来准确确定一元二次方程各项的系数. 例2：方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

 

　　解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程； 强调： 理解一元二次方程的定义应注意它隐藏的重要条件a≠0. 【设计意图】：本题是要考查学生对一元二次方程的定义的理解，借机培养学生对命题条件的认识和建立逻辑思维的严谨性， 是对学生学习数学能力的一个培养和锻炼的机会。 2.学生活动：每两个同学一组，一个同学说出一个一元二次方程，另一个同学说出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项，看说出的方程是否符合一元二次方程的要求． 【设计意图】：充分调动每一个学生，参与学习。学生互相批评指正，加深记忆。 （四）拓展练习，反馈新知：

 

　　1.判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，并指出二次项系数、一次项系数、常数项：不是的打“×”，并说明理由.　 (1)2x2-x-3=0.                          (  ) (2) -y2=0.                            (  ) (3) t2=0.                               (  ) (4) x3-x2=1.                             (  ) (5) x2-2y-1=0.                          (  ) (6) -3=0.                                   (  ) (7)  =2.                                  (  ) (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.                   (  ) (9)3x2- +6=0.                              (  ) (10)3x2= -3.                                (  )

 

　　2. 关于x的方程 ，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？ 【设计意图】：在这个环节，我遵循巩固与发展想结合的原则，将学生分成小组，以小组竞赛活动的方式对本课知识进行巩固。不仅调动学生学习的积极性、主动性，增强学生积极参与教学活动意识和集体荣誉感，而且还能培养学生的观察能力和判断能力。同时，对概念进行变式应用，可以开拓学生思维，培养学生的创新意识。 （五）归纳小结，升华新知： 本节课我们学习了哪些内容？  学习过程中用了哪些学习方法？

 

　　在指出一元二次方程项及二次项系数和一次项系数时，要注意哪些问题？  【设计意图】：引导学生从以上3个方面进行小结，以培养学生的归纳、概括能力。使学生理解从生活走进数学，让数学回归生活是学习数学的目的。

 

　　（六）布置作业，分层落实： 书：A组：P109/1、2；

 

　　初中教学设计

 

　　B组：P135/1、2、3       C组：P137/1 【设计意图】：考虑到学生在知识、技能、能力等方面的发展都不尽相同，因此，我分层次布置作业，以便同时兼顾到学有困难和学有余力的学生。

 

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