核心提示：第六章 数学模型方法 1．模型方法一般分为：实物模型，思想模型 2．模型方法具有可重复性、可操作性，能动地反映了客观事物的相互关系，促进了模拟、类比方法的现代化 3．数学建构：使用数学概念、数学符号、数学语言等表述出来的被研究对象的纯关系结构 4．
第六章 数学模型方法
1．模型方法一般分为：实物模型，思想模型
2．模型方法具有可重复性、可操作性，能动地反映了客观事物的相互关系，促进了模拟、类比方法的现代化
3．数学建构：使用数学概念、数学符号、数学语言等表述出来的被研究对象的纯关系结构
4．数学模型的解释——
广义：数学中的各种基本概念都是数学模型，因为它们都是在各自相应的原型实体中抽象的数学模型
狭义：将具体属性抽象出来构成一种特定的数学关系结构，只有那些反映特定问题或待定事物系统的数学结构才叫做数学模型
5．数学模型方法：利用构造具体问题的数学模型来解决实践中遇到的问题
6．数学模型的分类——
① 按来源分：理论模型、经验模型
② 按研究领域分：经济模型、人口模型、生态模型、交通模型等
③ 按使用的数学工具分：函数模型、方程模型、三角模型、几何模型、概率模型等
④ 按涉及的变量状况分：离散模型、连续模型
⑤ 按功能分：描述性模型、解释性模型
7．描述性模型：从特殊到一般，即从分析具体的客观事物及状态中，经过数学语言（概念、符号与公式等）的描述，得到一个数学模型。
最具代表性的是“格尼斯堡七桥问题”
“七桥问题”结论：如果每点引出的线都是偶数条则可以一笔画出，如果出现两个奇数点也可以一笔画，但是如果出现两个以上的点引出的线是奇数条那就不可能一笔画。
8．描述性数学模型分类：
确定性数学模型（如代数方程、微分方程、函数方程、积分方程）
随机性数学模型（如概率论、数理统计等；布丰的投针实验）
模糊数学模型（采用模糊数学的方法）
9．解释性数学模型：由一般到特殊，即从一般的公理化系统出发，运用数学的某种结构形式对公理系统给出某种结束的一种数学模型方法。
如庞加莱给出的一个非欧几何的数学模型
10．数学模型的构造：指对现实世界中的原型进行具体地数学建构的过程
11．数学模型建构的步骤：
① 掌握和分析客观原型的各种关系、数量形式
② 确定所研究原型的本质属性，从而抓住问题的实质
③ 建立数学模型
④ 对数学模型进行运演和检验
12．对中小学数学模型方法的教学的注意事项：
① 通过对数学模型的构造能够深入地认识和理解数学的本质特征
② 运用数学模型的直观、形象作用，强化学生的数学感受能力
③ 引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题
第七章 化归法
1．“化归”就可理解为转化、归结的意思。
数学中的化归法是指把待解决的问题归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，从而求得原问题解决的一种方法，化归法有时也称为化归原则。
化归法的核心思想是指对问题的转换
化归法的特征是转换、转化
2．熟化：向自己熟知、熟练的问题上转化
3．外部的化归法：其一是把一个实践问题化为数学问题（建立数学模型过程），其二是解决数学问题的求解问题
4．变形法包括：等价变形，恒等变形，同解变形，参数变形
5．在中小学数学中等价变换大体有如下两个方面：
在数的方面——有等值变换，同余变换，同解变换等
在形的方面——有合同变换，相似变换，等积变换等
6．恒等变形包括：多项式的恒等变形，分式的恒等变形，有理式的恒等变形，对数式的恒等变形，三角式的恒等变形等
7．同解变形：在等价转化思想的指导下，通过等价的变换，使原来的等式与变形的等式有相同的解
8．关系映射反演方法，也称关系映射反演原则，或简称RMI方法
9．RMI方法是通过映射，定映，反演三个主要步骤来解决问题的
第八章 逐次渐进方法
1．逐次渐进方法的分类：一类是对数学问题解法的逐次渐进方法，另一类是对数学问题本身的逐次渐进方法
所谓数学问题解法的逐次渐进方法，是指对数学问题先给出一个可行的或近似的初始解，然后以这个初始解为基础，按一定的程序给出一个解的序列，这个解序列的极限就是该问题的最后解。
所谓数学问题本身的逐次渐进方法，是指我们在研究数学问题时，从较大的范围开始逐步缩小问题的范围，通过对这些缩小范围的数学问题的解决，并且通过对解决问题方法的分析、综合等获得对原来问题解决的一种方法。
2．逐次渐进方法的应用：逐次试验、选择方法；逐步逼近与无限逼近的方法；递推法；递归法
递归法：把未知对象排成一个序列，并先求得第一个未知对象的结果，然后利用已经获得的第一个未知对象的结果，求得第二个未知对象。
3．类比猜想：依据两类对象之间存在的某些相同或相似的特征、属性、形式，猜测它们可能存在其他方面相似的特征、属性或形式的一种思维方式
标签：
