核心提示:必修二数学直线、平面平行的判定及其性质教案 必修二数学直线、平面平行的判定及其性质教案 一、教学目标 1.进一步熟悉掌握空间直线和平面的位置关系,理解并掌握直线与平面平行的判定定理及直线与平面平行的性质定理。 2.掌握由线线平行证得线面平行和线面
必修二数学直线、平面平行的判定及其性质教案
一、教学目标
1.进一步熟悉掌握空间直线和平面的位置关系,理解并掌握直线与平面平行的判定定理及直线与平面平行的性质定理。
2.掌握由“线线平行”证得“线面平行”和“线面平行”证得“线线平行”的数学证明思想。进一步熟悉反证法;进一步培养学生的观察能力、空间想象力和类比、转化能力,提高学生的逻辑推理能力。
3.培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度。建立“实践――理论――再实践”的科学研究方法。
二、重点、难点
重点:直线与平面平行的判定和性质定理。
难点:灵活的运用数学证明思想。
三、知识梳理
1、直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。即、a α,b α,且a∥b a∥α;
例1:求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边的平面。
已知:如图空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点。求证:EF∥平面BCD
证明:连结BD
AE=EB
EF∥BD
AF=FD EF 平面BCD EF∥平面BCD
BD 平面BCD
评析:要证EF∥平面BCD,关键是在平面BCD中找到和EF平行的直线,将证明线面平行的问题转化为证明直线的平行
2.直线和平面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。a∥α,a β,α∩β=l a∥l.
已知:a∥α,aβ,α∩β=b(如右图)
求证:a∥b
证明:α∩β=bba aβ
a∥α a∩b=φ a∥b
bβ
评析:证明用到了“同一平面的两直线没有公共点,则它们平行”
例2、如图,平面α、β、γ两两相交,a、b、c为三条交线,且a∥b,那么a与c、b与c有什么关系?为什么?
解:依题可知:α∩γ=a,β∩γ=b,α∩β=C
∵aα,bα,且a∥b∴b∥α 又∵b β, α∩ β=C∴b∥c 示,便于观察
又∵a∥b, ∴a∥c
注: ①性质定理也可概括为由“线面平行”证得“线线平行”
②过b且与α相交的平面有无数个,这些平面与α的交线也有无数条,且这些交线都互相平行
双基练习
1、能保证直线a与平面α平行的条件是( A )
A.aα,bα,a∥b B .bα,a∥b
C. bα,c∥α,a∥b,a∥c
D. bα,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC=BD
2、下列命题正确的是( D F )
A. 平行于同一平面的两条直线平行
B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行
C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行
D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行
E. 如果a、b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b,a∥α,bα,那么b∥α
3、若两直线a与b相交,且a平行于平面α,则b与α的位置关系是 平行或相交
4、如图,空间四边形ABCD被一平面所截,截面EFGH是一矩形。
(1)求证:CD∥平面EFGH;
(2)求异面直线AB、CD所成的角
证明:⑴依题:
矩形EFGHGH∥EF
EF面ACD GH∥面ACD
GH面ACD GH面BCD
面BCD∩面ACD=CD
GH∥CD
GH面EFGH
CD∥GH,且面BCD∩面EFGH=GHCD面EFGH
CD∥平面EFGH
⑵ 如⑴可证CD∥GH
同理可证AB∥GF ∠HGF即为异面直线AB与CD所成的角且
矩形EFGH∠HGF=90°
∠HGF=90°
平面与平面平行的判定
定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。简记为:线面平行,则面面平行。即a α,bβ,a∩b=P,
a∥α,b∥β β∥α
判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行
1.下列命题中,正确的个数是( )
①如果两个平面没有公共点,那么两个平面平行 ②如果两个平面平行,那么两个平面没有公共点 ③如果两个平面不相交,那么两个平面平行 ④如果两个平面不平行,那么两个平面相交
A.1B.2C.3D.4
2.下列说法正确的是( )
A.如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
B.如果一个平面内的两条直线都不平行于另一个平面,那么这两个平面不平行
C.如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
D.如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
3.过平面α外一条直线a与α平行的平面的个数为( )
A.只有一个B.至多一个
C.至少一个D.没有
直线与平面平行的性质
定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行,则线线平行。
定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。简记为:面面平行,则线线平行。符号表示:α∥β,α∩γ= a ,β∩γ= b a∥b
1.如果直线a∥平面α,那么( )
A.a只能平行于α内的一条直线
B.a平行于α内的所有直线
C.a平行于α内的任意一条直线
D.a与α内的直线是异面直线或平行直线
2.已知直线a∥平面α,直线b∥平面α,则( )
A.a∥bB.a与b异面
C.a与b相交D.以上均可能
3.已知直线a∥平面α,直线b与平面α不平行,则( )
A.a不平行于b B.a∥b
C.a与b相交 D.a∥b或a与b相交或a与b异面
4.已知直线a∥直线b,b∥直线c,c∥平面α,则( )
A.a∥α B.aα
C.a与α相交 D.a∥α或aα
5.正方体ABCD—A1B1C1D1中,截面BA1C1和直线AC的位置关系是( )
A.AC∥平面BA1C1 B.AC与平面BA1C1相交
C.AC在平面BA1C1内 D.上述答案均不正确
6.直线a∥平面α,平面α内有n条直线相交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的 ( )
A.至少有一条B.至多有一条
C.有且只有一条D.不可能有
考向一 直线与平面平行的判定与性质
【例1】如图,
【例2】
在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,O为AC的中点,M为PD的中点.
求证:PB∥平面ACM.
证明 连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点.又M为PD的中点,所以PB∥MO.因为PB 平面ACM,MO 平面ACM,所以PB∥平面ACM.
利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
【训练1】 如图,若
PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点,求证:AF∥平面PCE.
证明 取PC的中点M,连接ME、MF,
则FM∥CD且FM=CD.
又∵AE∥CD且AE=CD,
∴FM綉AE,即四边形AFME是平行四边形.
∴AF∥ME,又∵AF 平面PCE,EM 平面PCE,
∴AF∥平面PCE.
考向二 平面与平面平行的判定与性质
【例2】 如图,
在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N、P分别为所在边的中点.
求证:平面MNP∥平面A1C1B;
[审题视点] 证明MN∥A1B,
MP∥C1B.
证明 连接D1C,则MN为△DD1C的中位线,
∴MN∥D1C.
又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B.同理,MP∥C1B.
而MN与MP相交,MN,MP在平面MNP内,A1B,C1B在平面A1C1B内.∴平面MNP∥平面A1C1B.
证明面面平行的方法有:
(1)面面平行的定义;
(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;
(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
【训练2】 如图,
在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E、F分别为AB、AC的中点,∴EF∥BC,
∵EF 平面BCHG,BC 平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綉EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,
∴A1E∥GB.∵A1E 平面BCHG,GB 平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.
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