反证法在证明平行问题中的应用

时间:2015-10-12 来源:未知作者:实习编辑点击:次

核心提示：一．反证法定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法间接证明是的一种基本方法。【反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾

　　一．反证法——定义

　　一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法间接证明是的一种基本方法。

　　【反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．

　　一．反证法——例题

　　【例1】求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交．

　　【证明】不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a?平面α，得a∥平面α，与题设矛盾．

　　(2)b∥平面α.

　　则平面α内有直线b′，使b∥b′.而a∥b，故a∥b′，因为a

平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾．

　　综上所述，b与平面α只能相交．

　　【点评】直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确．

　　【例2】

　　【点评】本题已知为p，q的三次幂，而结论中只有p，q的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法. 标签：高一数学

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