内容摘 要：学生需要有“灵性”的基础。然而，由于教学时的“囫囵吞枣”、练习时的“炒冷饭”、
考试时的“重结果轻过程”导致了学生的基础缺乏灵性。灵性的孕育需要建立在真正意义的理解基础之上，注重数学思维能力的培养，加强数学思想方法的渗透。
关键词：基础 灵性 理解 思维 数学思想方法
学生需要怎样的基础
学生学习数学时的一些现象引起了我的注意──
笔者曾在我们学校的一个二年级班上做过调查，每分钟能正确口算超过25题的学生占全班人数的一半以上。而且，据我观察，至少我所在学校学生的口算能力还是不错的，无论是速度还是正确率都大大超过教材的要求。然而，这样的计算基础到了中高年级，面对简便计算时，很多学生仍然“败下阵来”。
在学习某一新知识时，课堂作业的正确率往往很高，然而过了一段时间再去进行类似的练习，正确率大打折扣，令教师们直呼“前学后忘”。而遇到新的探索性问题，结果更让人揪心。
考试时凡是练过的题学生解答尚可，但如果变换题目形式，结果常常惨不忍睹。教师们纷纷自责：“可能是复习的效果不太好。”
这些现状令人担忧！“学生需要怎样的基础”已经引起了很多专家学者的讨论，华东师范大学张奠宙教授有一个提法：让基础有灵性。什么是灵性？《汉语词典》的解释有多种，其中有一条指：人所具有的聪明才智，对事物的感受和理解的能力。《人民教育》余慧娟老师对它的理解是“不同背景下的‘贯通能力’，是具有思想方法做灵魂的‘知识’”。据此，笔者将数学学习中的灵性理解为学生的感悟能力、变通能力以及理解能力的组合概念，它是涉及数学本质的、以数学思想方法做灵魂的“知识”，是一种智慧。
何以造成学生的基础缺乏“灵性”
学生的数学学习基础为何看似厚实牢固，但实际上却显得缺乏灵性？笔者认为主要有以下几点原因：
教学时的“囫囵吞枣”造成学生过程性经验的缺失。学生学习数学知识应该清楚地认识“是什么”“为什么”“有什么用”“还能得到什么”等几个方面的问题。反思现实的教学，学生对于知识“是什么”往往是知道的，但这里的“知道”往往停留于表面，没有能够透过表面深入到本质。教师对于知识的“为什么”虽然比过去有所重视，但很多学生的活动和探索都是在教师明确的引导下进行的，学生往往缺乏独立思考的时空，有时甚至浅尝辄止，流于形式，学生并没有真正了解知识的来龙去脉。这样的情况导致学生的过程性学习经验储备不足，自主思考能力不强，容易前学后忘，并且只会解答与例题类似的习题，遇到稍有挑战性的问题就无所适从。对于知识“有什么用”的问题，学生一般能够在现实的问题情境中，通过解决问题有所体验，但由于问题的挑战性不够，因此学生的体验并不真切和深刻。更重要的，学生往往很难在教师的引导下，立足数学知识的整体架构，体会某一数学知识存在的必要性、必然性。而由这知识“还能得到什么”，也即学生由目前的知识还能做出哪些有意义的数学联想，还能给出哪些合情的猜想，等等，目前尚缺乏足够的关注。
总体上说，学生的学习仍然主动性不够，无法经常有效、完整地经历知识发生、形成、应用和发展的过程。因此，学生的数学学习基础是狭窄的、浮于表面的、“孤零零的”。
练习时的“炒冷饭”遏制了学生思维能力的发展。目前，教材上的习题大多是与例题教学相配套的，这些习题与例题的情境类似，解题方法相同，学生即使没有真正理解新授内容通过模仿也能求得正确结果。从学生数学学习的角度来说，对数学知识的巩固、内化需要一定量的模仿性练习。但是，在数学学习中的练习绝不能仅仅停留于此。教师需要跟进设计一些变式题，一些新的情境中的问题，一些需要应用与新知有着密切联系的旧知解决的综合性问题。尤其在单元复习或是整册教材复习时，我们更不能局限于单元或这一册教材相关知识的复习，“就题解题”式的练习，否则容易使学生的思维固化，不会变通。然而在目前，“炒冷饭”的现象大量存在，类似的题重复练习多遍，学生在重复性训练获得知识的同时，也过度强化了与这些知识相关的思维范式，思维的灵活性以及求异性得不到重视与发展。
考试时的“重结果轻过程”影响了学生的真正理解。学校的数学试卷上，检测过程性知识的试题仍然偏少。比如，学习分数乘法之后，单元测试题无非是分数乘法计算题、应用分数乘法计算解决简单的实际问题等。于是，“为考试而教”的思想使得很多教师在实际教学中忽视了学生对知识形成过程的掌握与理解。笔者记得，在“分数乘法”单元练习中，有一道检测过程性知识的试题难倒了一大片学生，这道题是这样的：请你在右边的长方形中表示出1/2×2/3，再计算。
上述三个方面的原因最终又回归到数学教学上面来。数学教学过程学生的感悟不充分、理解不到位、缺乏变通的机会，因而他们获得的只是一堆冰冷的知识，学生的灵性自然也缺失了生长的根基。
如何为学生打下有“灵性”的基础
1．灵性的孕育需要建立在真正意义的理解基础之上。
为学生打下有灵性的基础，需要引导学生实现对数学知识和方法的真正意义上的理解。具体可以从以下几个方面加以努力：
第一，了解数学知识的内在联系。数学知识之间是有密切关系的，有时因为教师没有去深入研究而忽视了知识的内在联系，使得学生失去“知其然也知其所以然”的机会。例如，小数除法是小学数学教学的难点之一，学生很容易出错。如果教师紧紧抓住小数除法与整数除法的联系，小数除法内部知识之间的联系，学生的学习就有可能稳步推进，实现真正意义上的理解。首先，小数除法学习的是除数是整数的情况，这里要让学生联系整数除法的知识掌握小数除以整数的计算程序，关键是学会并理解确定商的小数点位置的方法；接着进一步接触小数除以整数的不同情况，如除到被除数的末尾还有余数的，整数部分不够除的等等，掌握试商方法。在此基础上，学习除数是小数的除法，只要让学生明确除数是小数的除法需要将除数转化成整数，将新知转化为旧知，按照除数是整数的除法进行计算。但为了保证转化不改变原来的结果，因而转化的过程中需要应用商不变的规律，将被除数和除数乘上相同的数。了解到知识之间的联系后，学生的新知学习就能很好地建立在已有知识经验的基础之上，学习会变得更容易；同时，学生还能很好地把握知识的整体结构，理解得也会更加深刻，应用起来也能更加自如。
第二，经历知识的形成过程。知识的形成需要一定的过程，如果忽略过程直接告知结果，那么知识就如没有长根的浮萍，经不起时间的考验。公式的推导、规律的发现、技能的形成、方法的习得等都不能急于求成。虽说学生的学习不可能也不必要像当初数学家首次发现知识那样经历漫长的过程，但是需要教师创设一定的情境，引导学生由表及里、由浅入深、由此及彼，逐步感悟数学知识发生、形成和发展的过程。比如，教学《长方体的体积》一课。教师设计一项操作活动，让学生用体积是1立方厘米的小正方体搭成大小不同的长方体，通过数小正方体的个数来计算长方体的体积。在数的过程中，知识慢慢发生了：学生会逐步发现小正方体的总个数刚好等于每排的个数×每一层的排数×层数。这是基于操作的观察和联想。这时，教师会有意识地将操作中的数据以表格的方式呈现，以帮助学生确认刚才的猜想，并在头脑里回想用小正方体搭长方体的过程（从动作操作上升到表象操作），但严格意义上说，抽象的数学公式还未形成。教师继续引导学生进行抽象概括：小正方体的总个数就是长方体的体积，每排的个数就相当于长方体的长，每一层的排数相当于长方体的宽，层数就相当于长方体的高，因而，长方体的体积=长×宽×高。这时，长方体的体积公式就形成了。当然，学生在后续的学习中，还要学会将之特殊化，得到正方体的体积公式。
第三，体会数学的应用价值。在知识形成之后，教师要努力寻找现实的数学原型，引导并鼓励学生应用所学知识去解决实际问题。这样，不仅可以培养学生浓厚的学习兴趣，也能让学生在具体的应用过程中进一步理解、掌握知识，体会数学的应用价值。在这一过程中，需要特别加以考虑的是情境的变化、问题表述的现实性和数量关系的复杂程度、方法的多样性等几个要素。
2．灵性的孕育要注重学生思维能力的培养。
如果学生具备了较强的数学思维能力，那么面对复杂的情景，他们就能独立地去分析、判断、推理，从容地解决问题。
首先，数学教学要引导学生学会思考，这是培养学生思维能力的基础。让学生学会思考需要注意以下几个方面的问题：
设计好的问题。所谓好的问题是指有思考价值的、学生经过努力能解决的问题。这就意味着问题不能过浅，学生不假思索就可以找到答案；问题也不能过难，学生“跳一跳”也够不着。
教给思考的方法。小学生因为生活经验、知识基础等方面的原因，面对问题往往无从下手，因此，教师要注重教给他们思考的方法。如解决实际问题时可以从条件想起，也可以从问题想起，让学生明确思考的方向。在学习新知识的时候，可以联系相关的旧知识进行思考，发现新旧知识的不同点，从而得出新的结论。在发现规律的过程中，可以通过猜想、验证的方法进行研究，等等。
分享思考的过程。在课堂交流反馈时，教师不仅要关注学生思考的结果，也要关注思考的过程，要让学生完整地表述自己的思考过程，使得交流反馈成为学生互相学习、借鉴思考方法的良机。
其次，数学教学要促进学生思维的深入，这是提升学生思维能力的关键。教学时我们需关注以下几个问题：
要引导学生透过现象看本质。在数学教学中，教师要深入研究教材，把握知识点的本质所在，从而培养学生思维的深刻性。如，在一年级教学用加法（减法）解决的实际问题时，教师不要满足于学生利用已有的经验正确列式解答，还要让学生学会分析题中的数量关系，理解这样解答的道理。这样，学生才能逐渐深入地把握问题的本质。
要培养学生举一反三的能力。数学知识之间有着内在的联系，在教学中，教师要给学生提供举一反三的机会，由此实现从“学会”向“会学”的转变。培养举一反三的能力，可以从学习内容入手，如根据除法中商不变的规律思考分数中可能存在的性质，由分数的基本性质联想比中存在的基本性质。也可以是从学习方法入手，如由三角形面积计算方法的推导过程想到梯形面积计算方法的推导。还可以从解决问题的策略入手，如计算1/2+1/4+1/8+1/16，通过转化的策略将原式转化为1－1/16。而在解决“有16支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰一支球队）进行。想一想，一共要进行多少场比赛才能产生冠军？”也可以运用转化策略，将问题转化成“一共要淘汰多少支球队”。只有在平时的教学中注重培养学生举一反三的能力，学生面对复杂问题的时候才能灵活变通。
要促使学生从不同的角度思考问题。很多数学问题，解决的方法不止一种。如，用分数表示下面涂色部分：
这道题可以将涂色部分分割成5部分，通过移、拼，形成这样的三部分（如下图），得到涂色部分是整个图形的10/16即5/8。还可以将空白部分通过移、拼，形成这样的两部分（如下图），同样也可以得到涂色部分是整个图形的10/16即5/8。
如果在教学中，我们经常能够引导学生从不同的角度去思考，用不同的方法去解决同一个问题，那么学生思维的灵活性就将得到很好地培养。 3.灵性的孕育要加强数学思想方法的渗透。 数学思想方法是人类思想文化宝库中的瑰宝，对学生的学习、生活及以后的工作起到非常重要的影响作用。在教学中，教师首先要站在数学思想方法的高度去解读教材，充分挖掘隐藏在文字背后的思想方法；其次在教学中，教师要引导学生经历对数学知识学习过程的分析、提炼和抽象，让学生充分体验有形知识背后无形的数学思想方法；最后，教师要善于提供机会，让学生运用数学思想方法去解决实际问题，从而进一步强化及体验数学思想方法。如果学生能够真正理解数学知识，又具备较强的思维能力和一定的数学思想方法，那么有灵性的基础应该指日可待！
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